Appendice I

--Appendice I: Calculs avec Macaulay 2

        p=31991;
       KK=ZZ/p;
       R0=KK[y_0..y_2];
       for i from 0 to 2 do for j from i to 1 do f0_(i,j)=random(2,R0);
       for i from 0 to 1 do g0_i=random(2,R0);
       for i from 0 to 1 do h0_i=random(1,R0);
       ell0=random(1,R0);
       R=KK[x_0,x_1,y_0..y_2,la_0..la_2, MonomialOrder => Eliminate 5];
       for i from 0 to 2 do for j from i to 1 do f_(i,j)=substitute(f0_(i,j),R);
       for i from 0 to 1 do g_i=substitute(g0_i,R);
       for i from 0 to 1 do h_i=substitute(h0_i,R);

--L'équation de la variété de Fano fibré en coniques
--$X_t=V(F_t)\subset\mathbb P(\mathcal{E})$ dépend de $t = (la_0,la_1,la_2)$ est
--$F_t = la_0*F+(la_1*x_0+la_2*x_1)*G=0$.
--Le prochain calcul concerne le discriminant de $Ramif=r_t$ vu comme une forme --quadratique en $(x_0,x_1)$:

       ell=substitute(ell0,R);
       Ramif=(la_0*(h_0*x_0+h_1*x_1)+(la_1*x_0+la_2*x_1)*ell)^2-4*la_0*(la_0*(f_(0,0)*x_0^2+
       f_(0,1)*x_0*x_1+f_(1,1)*x_1^2)+(la_1*x_0+la_2*x_1)*(x_0*g_0+x_1*g_1));
       cf_0=Ramif//(x_0^2);
       cf_1=Ramif//(x_0*x_1);
       cf_2=Ramif//(x_1^2);
       D=cf_1^2-4*cf_0*cf_2;
       DD=D//la_0^2;
       R1=KK[y_0..y_2,la_0..la_2, MonomialOrder => Eliminate 3];
       DDD=sub(DD, R1);
       DDD0=sub(DDD, {y_0=>1});
       DDD1=sub(DDD, {y_1=>1});
       DDD2=sub(DDD, {y_2=>1});
       SDDD= ideal diff(transpose matrix{{y_0,y_1,y_2}}, DDD);
       SDDD0=ideal( ideal diff(transpose matrix{{y_1,y_2}}, DDD0), DDD0);
       SDDD1=ideal( ideal diff(transpose matrix{{y_0,y_2}}, DDD1), DDD1);
       SDDD2=ideal( ideal diff(transpose matrix{{y_0,y_1}}, DDD2), DDD2);
        --Note that SDDDk=sub(SDDD, {y_k=>1})

--Maintenant, on rappelle et introduit les notations suivantes :

--$\mathbb{P}(\mathcal{E})(x_0,x_1,x_2,y_0,y_1,y_2)\to \mathbb P(y_0,y_1,y_2)$ est le --fibré projectif (cf ci-dessus).

--$S\subset\mathbb P(E)\to \mathbb P(y_0,y_1,y_2)$ est la surface K3 fixée ci-dessus,
--qui est un revêtement double ramifié en la sextique
--$C_0=Q_0\subset \mathbb{P}(y_0,y_1,y_2)$.

--$X=\mathcal{X}=V(la_0*F+(la_1*x_0+la_2*x_1)*G)\subset
--\mathbb{P}(\mathcal{E})\times \mathbb{P}(la_0,la_1,la_2)$
--est la famille de diviseurs de type (2,2), contenant la surface K3
--$S\subset\mathbb{P}(\mathcal{E})$.
--Ainsi pour $t\notin V(la_0)$, $X(t)=X_t\to\mathbb{P}(y_0,y_1,y_2)$ est un fibré en --coniques.

--$pr_t: \mathbb{P}(y_0,y_1,y_2)\times\mathbb{P}(la_0,la_1,la_2)\to
--\mathbb{P}(la_0,la_1,la_2)$ est la projection et $pr_y: \mathbb{P}(y_0,y_1,y_2)\times --\mathbb{P}(la_0,la_1,la_2)\to \mathbb{P}(y_0,y_1,y_2)$ est l'autre projection.

--$DDD\subset \Spec KK[y_0,y_1,y_2,la_0,la_1,la_2]$ est bi-homogène en $(y,t)$ et
--$DDD=\mathbf{\Delta}=V(\delta'_t)\subset\mathbb P(y_0,y_1,y_2)\times
--\mathbb P(la_0,la_1,la_2)$
--est la famille complète des discriminants de ces fibrés en coniques:
--pour $t\notin L_0=V(la_0)$, $DDD(t)= \Discr(X_t)\subset \mathbb{P}(y_0,y_1,y_2)$.

--On regarde dans les cartes $D(y_0), D(y_1), D(y_2)$: $DDD0=DDD\cap D(y_0)$, --$DDD1=DDD\cap D(y_1)$, $DDD2=DDD\cap D(y_2)$.
--Ainsi on pose :

       DDD0=sub(DDD, {y_0=>1}); DDD1=sub(DDD, {y_1=>1}); DDD2=sub(DDD, {y_2=>1});

--$SDDD\subset DDD\subset\mathbb{P}(y_0,y_1,y_2)\times \mathbb{P}(la_0,la_1,la_2)$ --est le lieu des singularités des courbes de $DDD$ : $SDDD(t)=\sing(DDD(t))$ est le lieu --singulier (vide pour $t\notin \Discr D$) de la courbe $DDD(t)$. Ainsi on pose:

       SDDD= ideal diff(transpose matrix{{y_0,y_1,y_2}}, DDD);

--Cette sous-variété fermée $SDDD\subset{\mathbb P^2(y)\times\mathbb P^2(t)}$ est donnée --par 3 équations donc toutes ses composantes irréductibles
--ont pour dimension $\geq 1$, en particulier elle ne contient pas de points fermés isolés.

--On regarde dans les cartes $D(y_0)$, $D(y_1)$, $D(y_2)$:
--$SDDD0=SDDD\cap D(y_0), SDDD1=SDDD\cap D(y_1), SDDD2=SDDD\cap D(y_2).$
--Ainsi on pose :

       SDDD0=sub(SDDD, {y_0=>1}); SDDD1=sub(SDDD, {y_1=>1}); DDD2=sub(DDD, {y_2=>1});

--ou bien

       SDDD0=ideal( ideal diff(transpose matrix{{y_1,y_2}}, DDD0), DDD0);
       SDDD1=ideal( ideal diff(transpose matrix{{y_0,y_2}}, DDD1), DDD1);
       SDDD2=ideal( ideal diff(transpose matrix{{y_0,y_1}}, DDD2), DDD2);

--$\Discr D=pr_t(SDDD)\subset \mathbb P(la_0,la_1,la_2)$ est le discriminant de la famille --de courbe $DDD$.

--$S2DDD\subset SDDD\subset DDD\subset \mathbb{P}(y_0,y_1,y_2)\times
--\mathbb{P}(la_0,la_1,la_2)$ est
--le lieu des singularités des courbes de $DDD$ qui ne sont pas des noeuds, i.e.
--dont la hessienne (partie quadratique) est dégénérée.
--On regarde dans la carte $D(y_0)$ : $S2DDD0=S2DDD\cap D(y_0)$ et on a --$S2DDD0=S2DDD$
--(il n'y a pas de point de $S2DDD$ à l'infini).
--On note $\Discr_2D=\Discr 2D=pr_t(S2DDD)\subset\mathbb P(la_0,la_1,la_2)$ le lieu des --$t\in\mathbb P(la_0,la_1,la_2)$
--où les courbes $\Delta_t$ acquièrent des singularités non nodales.

--$S2kDDD\subset S2DDD\subset DDD\subset \mathbb{P}(y)\times \mathbb{P}(t)$ est
--le lieu des singularités des courbes de $DDD$ qui ne sont ni des noeuds ni des cusp.
--On regarde dans la carte $D(y_0)$ : $S2kDDD0=S2DDD\cap D(y_0)$ et on a --$S2kDDD0=S2kDDD$
--(il n'y a pas de point de $S2kDDD$ à l'infini).
--On note $\Discr_{2k}D=\Discr 2kD=pr_t(S2DDD)\subset\mathbb P(t)$ le lieu
--des $t\in\mathbb P(t)$
--où les courbes $\Delta_t$ acquièrent des singularités non nodales et non cuspidales.

--$SX=V(ISingX)\subset X=\mathcal{X}=V(F)\subset\mathbb P(\mathcal{E})(x,y)
--\times\mathbb P^2(t)$
--est le lieu des singularités des $X_t$.
--Notons que cette sous-variété fermée $SX\subset\mathbb P(\mathcal{E})(x,y)\times
--\mathbb P^2(t)$
--est donnée par $6$ équations donc à priori peut avoir des composantes irréductibles de --dimension $0$
--i.e. des points fermés isolés.
--On regarde dans la carte $D(la_0,y_0,x_0)$ :
--$SX0=SX\cap D(la_0,y_0,x_0)\subset\mathbb P(\mathcal{E})(x,y)\times\mathbb P^2(t)$.
--On note $\Discr X0=pr_t(SX0)\subset\mathbb P(t)$ le lieu des $t\in D(la_0)\subset
--\mathbb P^2(t)$
--où les $X_t$ acquièrent des singularités.

--$S2X0\subset X=\mathcal{X}\subset\mathbb P(\mathcal{E})(x,y)\times\mathbb P^2(t)$
--est le lieu des singularités des $X_t$ pour $t\in D(la_0)$ qui ne sont pas des noeuds.

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--Courbes $\Delta_t$ pour $t\in V(t_0)$

--Pour $t\in V(la_0)$ générique, les courbes $\Delta_t=DDD(t)\subset\mathbb P^2(y)$
--sont intègres (réduites et irréductibles) et ont pour singularités 2 noeuds :

DDD(0,la1,la2)=sub(DDD,{la_0=>0,la_1=>random(p),la_2=>random(p)});
factor DDD(0,la1,la2) -- n'est pas le carré d'une conique
ideal singularLocus ideal DDD(0,la1,la2)==radical ideal singularLocus ideal DDD(0,la1,la2) => True;
SingDDD(0,la1,la2)=ideal singularLocus ideal DDD(0,la1,la2);
dim SingDDD(0,la1,la2)= 3
degree SingDDD(0,la1,la2)= 2

--Pour $t\in V(la_0)$, $X_t\subset\mathbb P(\mathcal{E})(x,y)$ est réductible,
--donc il n'y a pas de structure de fibré en coniques. Regardons les courbes
--limites $\Delta_t=DDD(t)\subset\mathbb P^2(y)$ pour $t\in V(la_0)$ de la famille $DDD$
--des discriminants $\Delta_t$.
--Il s'avère que ce sont les images de courbes elliptiques de $S$ variant dans un pinceau
--$C'(la_1:la_2)\subset{S}\subset\mathbb P(\mathcal{E})(x_0,x_1,x_2,y)$, défini par --$(x_0:x_1)=(-la_2:la_1)$.
--Pour $t\in V(la_0)$, les courbes $\Delta_t$ sont intègres et ont pour singularités
--2 noeuds qui ne sont pas sur la courbe $C_0\subset\mathbb P^2$. On a
--$p^{S,-1}(\Delta_t)=C'(la_1:la_2)\cup C''(la_1:la_2)$,
--où $C''(la_1:la_2)$ est un autre pinceau elliptique.
--Dans le calcul suivant $F$ désigne l'image $C'(la_1:la_2)\to P^2(y)$, et on
--vérifie que F est proportionnel à $DDD(0:la_1:la_2)$.

z_0=-la_2*ell;
z_1=la_1*ell;
z_2=-la_2*g_0+la_1*g_1;
F=z_2^2+f_(0,0)*z_0^2+f_(0,1)*z_0*z_1+f_(1,1)*z_1^2-
z_2*(h_0*z_0+h_1*z_1);

DDDL0=sub(DDD,la_0=>0_R);
(ideal F)==(ideal DDDL0)
--The answer is "true".

--Rappelons que $H'_1$ désigne le pullback à $S$ de $P^1(x_0,x_1)\times P^2(y)$,
--alors $C'$ est dans $|H'_1|_S$, et $C''$ dans $|4H'_2-H'_1|_S$.
--Le nombre d'intersection est
--$(C'.C'')_S = (H'_1.(4H'_2-H'_1))_S=16$.
--Parmi les 16 points d'intersection :

--12 de ces points, comptés avec multiplicités
--si $(0:la_1:la_2)\in V(t_0)\cap C_{eic0}$,
--sont sur la courbe de ramification $C_0$ (ce sont les
--12 points doubles, comptés avec multiplicités
--si $(0:la_1:la_2)\in V(t_0)\cap C_{eic0}$, de $(DDD(0:la_1:la_2)\cap C_0)_{red}
--\subset\mathbb P^2(y)$
--où $DDD(0:la_1:la_2)$ est totalement tangente à $C_0$ dans $\mathbb P^2(y)$),

--Les 4 restants sont les images inverses dans $p^S:S\to\mathbb P^2(y)$
--des 2 noeuds de $DDD(0:la_1:la_2)\subset\mathbb P^2(y)$.

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--Intersection de $\Delta_t$ pour $t\in\mathbb P^2(t)$ générique avec la courbe de --ramification $C_0$

--Pour $t\in\mathbb P^2(t)$ générique, $\Delta_t\subset\mathbb P^2(y)$ et lisse et --$\Delta_t\cap C_0\subset\mathbb P^2(y)$
--sont $12$ points de tangence simple :

--Equation de $C_0$ :

M=matrix{{f_(0,0),f_(0,1)/2,h_0/2},
         {f_(0,1)/2,f_(1,1),h_1/2},
         {h_0/2,    h_1/2,    1 }};
a_0=g_0;
a_1=g_1;
a_2=ell;
ll={0,1,2};
Madj=matrix(apply({0,1,2},i-> apply({0,1,2},j-> (-1)^(i+j)*det(M^(delete(i,ll))_(delete(j,ll))))));
--Q=sum(0..2,i-> sum(0..2,j-> (-1)^(i+j)*det(M^(delete(i,ll))_(delete(j,ll)))*a_i*a_j)))
Q=sum(0..2,i-> sum(0..2,j-> Madj_(i,j)*a_i*a_j));
Q%SingD01

--Regardons l'intersection de $\Delta_t$ pour $t$ générique avec $C_0$ :

DDD(t)=sub(DDD,{la_0=>random p,la_1=>random p,la_2=>random p});
IDQ(t)=radical ideal(DDD(t),Q);
hilbertPolynomial I -- 2 {P}_{1}-12 {P}_{2}+27 {P}_{3}-28 {P}_{4}+12 {P}_{5}

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--Discriminant $\Discr D$ de la famille de courbes
--$DDD\subset\mathbb{P}(y_0,y_1,y_2)\times\mathbb{P}(la_0,la_1,la_2)$ et singularités de --$\Discr D$


       GSD0=gens gb SDDD0;
       GSD1=gens gb SDDD1;
       GSD2=gens gb SDDD2;
       DiscrD0=selectInSubring(1,GSD0);
       DiscrD1=selectInSubring(1,GSD1);
       DiscrD2=selectInSubring(1,GSD2);

--$\Discr D=\Discr D0=\Discr D1=\Discr D2$ car

       DiscrD0==DiscrD1 => true
       DiscrD0==DiscrD1 => true

       sub(DiscrD0, la_0=>0) -- 0
       DiscrD0 %(la_0^2) -- non zéro


--Donc $\Discr D$ contient le droite $la_0 = 0$ avec multiplicité un.

--Essayons de mettre en évidence la composante de dimension un de $\sing(\Discr D0)$.

       DiscrD00=DiscrD0//la_0;
       L=ideal singularLocus ideal DiscrD00;
       TC=topComponents L;
       degree TC -- =12
       C28=DiscrD00//gens((TC)^2);
       degree ideal C28 -- = 28

--Donc $C_{12}:=TC$ est une composante irréductible de degré 12 du discriminant de --multiplicité 2 et $C_28$ est une composante irréductible et réduite du discriminant de
--degré 28.

--Le discriminant qui est de degré $53=12*2+28+1$ se décompose en
--$$\Discr D=C_{12}^2\cup C_{28}\cup V(la_0)\subset \mathbb{P}^2.$$

--Singularités de $C_{28}$ :

--On va montrer que les singularités de $C_{28}$ sont 66 cusps et 276 noeuds, non situés sur --$C_{12}\cup V(la_0)$:

       P=ideal singularLocus ideal C28;
       degree P -- = 408
       dim P -- = 4

--Maintenant, déterminons les types de singularités de $C_{28}$ présents dans le schéma --$\sing(C_{28})$ de dimension 0 et de longueur 408.
--On regarde d'abord s'il y a des points singuliers de $C_{28}$ sur $L_0$ ($la_0=0$).

       dim (ideal(la_0)+P) -- = 3,

--ce qui signifie que $\sing(C_{28})\cap L_0= \emptyset$. Donc, il n'y a pas de singularités --sur $L_0$, et on peut étudier les singularités
--de $C_{28}$ dans la carte $D(la_0)$ en déhomogénisant par $la_0=1$. On vérifie alors que --$C_{28}$ n'a pas de points triples.

       e1=matrix{{la_1,la_2}};
       e2=gens trim (ideal e1)^2;
       P0=sub(P, la_0=>1);
       C280=sub(C28, la_0=>1);
       a=diff(e2,C280);
       Jtriple=ideal(a)+P0;
       dim Jtriple -- = -1,

--Par conséquent, les seules singularités sont de types $A_k$. Maintenant, on démontre qu'il --n'y pas de singularités de type $A_k$ avec $k>2$ (tacnodes ou pire). Ceci est caractérisé par --la propriété que la partie quadratique de l'équation est de rang 1 et n'est pas première avec la --partie cubique. Calculons donc le résultant de la partie quadratique et de la partie cubique.

       e3=gens trim (ideal e1)^3;
       b=diff(e3,C280);
       M=matrix{{a_(0,0),2*a_(0,1),a_(0,2),0,0},
       {0,a_(0,0),2*a_(0,1),a_(0,2),0},
       {0,0,a_(0,0),2*a_(0,1),a_(0,2)},
       {b_(0,0),3*b_(0,1),3*b_(0,2),b_(0,3),0},
       {0,b_(0,0),3*b_(0,1),3*b_(0,2),b_(0,3)}};
       rs=det M;
       degree rs -- 128
       Jtacnodes=ideal(rs) + P0;
       dim Jtacnodes -- = -1;

--Donc les seules singularités possibles de $C_{28}$ sont les noeuds $(A_1)$ et les cusps --$(A_2)$.
--Maintenant, on regarde le nombre de cusps. Ces singularités sont caractérisées par le fait que --la partie quadratique en ces points est le carrée d'une forme linéaire.

       Jcusps=ideal(a_(0,0)*a_(0,2)-a_(0,1)^2)+P0;
       dim Jcusps -- 4
       degree Jcusps -- 66

--Donc il y a 66 cusps. Chaque cusp appartient à $\sing(C_{28})$ avec multiplicité 2, et les --noeuds appartiennent à $\sing(C_{28})$ avec multiplicité 1. Le nombre de noeuds est donc --408-2*66=276.

--Aucun point de $C_{28}\cap L_0$ n'est une singularité de $C_{28}$ car

       dim ideal(ideal singularLocus ideal C28, la_0)--= 3

--Singularités de $C_{12}$ :

--Le calcul suivant montre que les singularités de $C_{12}$ sont constituées de 36 noeuds --non situés sur $C_{28}\cup L_0$.

--Aucun point de $C12\cap L_0$ n'est une singularité de $C_{12}$ car

       dim ideal(ideal singularLocus TC, la_0)--= 3

--On peut donc se contenter de regarder sur la carte $D(la_0)$:

       TC0=sub(TC, la_0=>1);
       SC120=ideal singularLocus TC0;
       degree SC120--= 36

--Donc $C_{12}$ a 36 points singuliers comptés avec multiplicité.

--$C_{12}$ n'a pas de points triples car

       e1=matrix{{la_1,la_2}};
       e2=gens trim (ideal e1)^2;
       a=diff(e2, gens TC0);
       STC12=ideal(ideal(a), SC120 );
       dim STC12--= -1 => C12 n'a pas de point triple.

--$C_{12}$ n'a pas de singularités non nodales car

       detH0C12=a_(0,0)*a_(0,2)-a_(0,1)^2;
       S2C120=ideal(detH0C12, SC120);
       dim S2C120--= -1

--Etude de $C_12\cap C_{28}$ :

--Considérons l'intersection de $C_{12}$ et de $C_{28}$:

       IC12C28=ideal(TC,C28);

--Aucun point de $C_{12}\cap C_{28}$ n'est une singularité de $C_{12}$ car

       dim ideal(ideal singularLocus TC, IC12C28)--= 3

--Aucun point de $C_{12}\cap C_{28}$ n'est une singularité de $C_{28}$ car

       dim ideal(ideal singularLocus ideal C28, IC12C28)--= 3

--Regardons maintenant si l'intersection de $C_{12}$ et $C_{28}$ est transverse.

--La condition de transversalité est la non nullité du déterminant des gradients des deux --équations. Calculons ce déterminant:

       C12=(gens TC)_(0,0);
       e1=matrix{{la_1,la_2}};
       C280=sub(C28, la_0=>1);
       C120=sub(C12, la_0=>1);
       a1=diff(e1,C280);
       a2=diff(e1,C120);
       PT=det(a1||a2);

--On calcule alors la dimension et le degré de l'idéal de non-transversalité de l'intersection --INTI:

       INTI=ideal(C120,C280,PT);
       dim INTI -- 4
       degree INTI -- 66

--Vérifions que $NTI=V(INTI)\subset D(la_0)$ ne contient pas de points de $\sing(C_{12})$ :

       ISC12=ideal singularLocus ideal C120;
       dim ISC12 -- 4
       degree ISC12 -- 36
       dim(ISC12+INTI) --   -1

--Le nombre de NTI est égal au nombre de cusps de $C_{12}$. Comparons INTI
--avec Jcusps:

       e2=gens trim (ideal e1)^2;
       P0=sub(P, la_0=>1);
       a=diff(e2,C280);
       Jcusps=ideal(a_(0,0)*a_(0,2)-a_(0,1)^2)+P0;
       dim Jcusps -- 4
       degree Jcusps -- 66
       dim(Jcusps+INTI) --    -1

--Il n'y a pas de cusps de $C$ parmi les points de NTI.

       dim(P0+INTI) --    -1

--Donc aucun point de NTI n'est un point singulier de $C_{28}$ (rappelons que $P0$ est --l'idéal qui définit $\sing(C_{28})$).
--On vérifie maintenant que la courbe $V(PT)$ rencontre transversalement $C_{12}$ (et --$C_{28}$) en les points de $ NTI=V(PT)\cap C_{12}\cap C_{28}\subset \mathbb{P}^2$. --En particulier, les points d'intersection non-transverse de $NTI$ sont des points de tangence --simple, i.e. $C_{12}$ et $C_{28}$ s'intersectent transversalement en 12*28-2*66=204 --points.

--En effet, on vérifie que les gradients de $PT$ (a3) et de $C_{12}$ (a2) sont
--linéairement indépendants au points de NTI.

       a3=diff(e1,PT);
       PTC12PT=det(a2||a3);
       dim(INTI+ideal(PTC12PT)) -- -1

--On définit maintenant l'idéal ITI du lieu d'intersection transverse de $C_{12}$, $C_{28}$.
--OI est le O-module correspondant au faisceau structural de
--l'intersection de $C_{12}$ et $C_{28}$.
--Ces fibres aux points de NTI sont de longueur au plus 2.
--Donc elles s'annulent après multiplication par $PT^2$ .
--L'idéal annulateur du module résiduel est donné par le calcul
--de l'idéal de Fitting.

       OI= cokernel matrix{{C120,C280}};
       OTI=PT^2*OI;
       ITI=fittingIdeal(0,OTI);
       dim ITI -- 4
       degree ITI -- 204

--Comme prévu, 204 = 28*12 - 66*2 points.

--Etude des intersections $V(la_0)\cap C_{28}$ et $V(la_0)\cap C_{12}$ :

--La tangente de $C_{28}$ aux 28 points
--$C_{28}\cap V(la_0)\subset \mathbb{P}(la_0,la_1,la_2)$ est différente de $V(la_0)$ sauf --en 1 point double :

       ideal(C28,la_0)==radical ideal(C28,la_0) => False
       degree radical ideal(C28,la_0)--= 26

--La tangente de $C_{12}$ aux 12 points
--$C_{12}\cap V(la_0)\subset \mathbb{P}(la_0,la_1,la_2)$ est différente de $V(la_0)$ car

       ideal(TC,la_0)==radical ideal(TC,la_0) => False
       degree radical ideal(TC,la_0)--= 6

--De plus, l'équation de $C_{12}\cap V(la_0)$ est constituée d'un seul facteur carré donc --$C_{12}$ est totalement tangente à $V(la_0)$.

%==================================================

--Discriminant $\Discr X$ et \'{E}tude des singularités qu'acquièrent les variétés de Fano --$X(t)\subset \mathbb{P}(\mathcal{E})$ de la famille de diviseurs de type (2,2) --$X=\mathcal{X}\subset \mathbb{P}(\mathcal{E})\times \mathbb{P}(t)$

       R2=KK[x_0..x_2,y_0..y_2,la_0..la_2, MonomialOrder => Eliminate 6];
       for i from 0 to 2 do for j from i to 1 do f_(i,j)=substitute(f0_(i,j),R2);
       for i from 0 to 1 do g_i=substitute(g0_i,R2);
       for i from 0 to 1 do h_i=substitute(h0_i,R2);
       ell=substitute(ell0,R2);
       F0=x_2^2+x_2*(x_0*h_0+x_1*h_1)+f_(0,0)*x_0^2+f_(0,1)*x_0*x_1+f_(1,1)*x_1^2;
       G=x_2*ell+x_0*g_0+x_1*g_1;
       F = la_0*F0+(la_1*x_0+la_2*x_1)*G;

--Calculons le lieu des singularités
--$$SX=V(ISingX)\subset X=\mathcal{X}=V(F)\subset\mathbb P(\mathcal{E})
--\times\mathbb P^2(t)$$
--de la famille $\mathcal{X}$ des diviseurs de type $(2,2)$.

       M=diff(matrix{{x_0,x_1,x_2}},F);
       N=diff(matrix{{y_0,y_1,y_2}},F);
       ISingX=ideal(M)+ideal(N);
       dim ISingX -- 6

--Etant donné que les variables $(x,y,t)=(x_0,x_1,x_2,y_0,y_1,y_2,la_0,la_1,la_2)$ sont au --nombre de 9, $SX$ est de codimension 3.
--Puisque le projectivisé $\mathbb P(\mathcal{E})(x,y)\times\mathbb P^2(t)$ est de --dimension 6, $SX\subset\mathbb P(\mathcal{E}(x,y)\times\mathbb P^2(t)$
--est dimension 3.
--Maintenant, on va enlever les composantes de dimension 3, espérant que le lieu résiduel de --$SX$ sera de dimension 1.
--La première composante de $SX$ de dimension $3$ est
--$V(la_0, la_1x_0+la_2x_1, G)\subset SX$.
--On se place donc sur l'ouvert $D(la_0)\subset\mathbb P(\mathcal{E}(x,y)\times
--\mathbb P^2(t)$.
--Les 2 autres composantes de codimension 3 de $SX$, $V(x_0,x_1,x_2)\cup --V(y_0,y_1,y_2)\subset SX\subset\mathbb A^9(x,y,t)$, deviennent $\emptyset$ après --projectivisation. On les enlève en se plaçant sur
--l'ouvert $D(x_0,y_0)\subset\mathbb P(\mathcal{E}(x,y)\times\mathbb P^2(t)$, i.e. en --intersectant avec $V(x_0-1,y_0-1)\subset\mathbb A^9(x,y,t)$.
--On pose donc
--$$SX0:=SX\cap D(la_0,x_0,y_0)\subset\mathbb P(\mathcal{E}(x,y)\times\mathbb P^2(t):$$

       ISingX0=substitute(ISingX, {x_0=>1_R2, y_0=>1_R2, la_0=>1_R2});
       dim ISingX0 -- 4

--Donc $SX0=SX43$ est maintenant de dimension 1.
--On calcule $pr_t(SX0)\subset\mathbb P^2(t)$ :

        GBISingX0= gb ISingX0;
       DiscX=ideal selectInSubring(1, gens GBISingX0);
       degree DiscX -- 28
       DiscrX==C28 True

--On voit que $pr_t(SX0)=C_{28}$.
--Donc $X_t$ est lisse pour $t\in C_{12}\backslash C_{12}\cap C_{28}$.

--Conclusion: pour $t\in C_{28}\backslash(C_{28}\cap V(la_0))$,
--le fibré en conique $X_t\subset{\mathbb P(\mathcal{E})}\to\mathbb P^2(y)$ est singulier.
--La seconde composante $C_{12}$, de multiplicité 2 dans $\Discr D$, paramètre
--génériquement des variétés de Fano de dimension 3. En particulier, pour
--$t\in C_{12}\backslash(C_{12}\cap V(la_0))$
--générique, bien que le fibré en coniques
--$X_t\subset{\mathbb P(\mathcal{E})}\to\mathbb P^2(y)$
--ait une droite double comme fibre au-dessus de
--$\Delta_{2t}=\left\{1 \mbox{point}\right\}\subset\mathbb P^2(y)$,
--la variété de Prym est abélienne. Ce cas ce produit quand le revêtement double
--$\tilde{\Delta}_t=F_1(X_t/\mathbb P^2)\to DDD(t)=\Delta_t$ satisfait les conditions de --Beauville.

--Complément à l'étude de $SX0$ :

       degree ISingX0 -- 43, et non 28

--Regardons si des composantes de dimension 1 de $SX0$
--se projètent sur un point de $C_{28}$.

       OSingX0= cokernel gens ISingX0;
       OResidualScheme=DiscX*OSingX0;
       IResidualScheme=fittingIdeal(0,OResidualScheme);
       degree IResidualScheme -- 0
       dim IResidualScheme -- -1

--Donc il n'y a pas de fibre de $SX0\to C_{28}\cap D(la_0)$ de dimension 1, donc toutes les --composantes irréductibles de dimension 1 de $SX0$ sont finies sur $C28$. Comme pour --$t\in C_{28}$ générique, les singularités de $X_t\subset{\mathbb P(\mathcal{E})}$
--sont constituées d'1 point double ordinaire, $SX0$ a une seule composante irréductible de --dimension 1 qui est birationnelle sur $C_{28}\cap D(la_0)$.

--Vérifions maintenant que les singularités de $X_t$ pour $t\in C_{12}\cap C_{28}$ sont --constituées d'un noeud simple (ODP).
--Regardons d'abord au-dessus des points d'intersection transverse.

       ITI2=sub(ITI,R2);
       degree(ISingX0+ITI2) -- 204, comme attendu.

--Regardons ensuite au-dessus des points de tangence

       INTI2=sub(INTI,R2);
       dim(ISingX0+INTI2) -- 3
       degree(ISingX0+INTI2) -- 66, ce sont des ODP aussi.

--Singularités de $X_t$ quand $t$ est un cusp de $C28$ :

       C28Jcusps2=sub(Jcusps,R2);
       SX0C28J=ISingX0+Jcusps2;
       dim SX0C28J -- 3
       degree SX0C28J -- 132 = 2*66 (chaque cusp a multiplicité 2)

--Singularités de $X_t$ quand $t$ est un noeud de $C_{28}$ :

       SX0C28S=ISingX0+ P (P=singularLocus ideal C28);
       dim SX0C28S -- 3
       degree SX0C28S -- 408 = 2*66+2*276 (chaque cusp a multiplicité 2)

--Calcul du lieu non nodal
--$S2X0\subset X=\mathcal{X}\subset\mathbb P(\mathcal{E})(x,y)\times\mathbb P^2(t)$ :

       ex=matrix{{x_1,x_2,y_1,y_2}};
       Finhom=sub(F,{x_0=>1_R2, y_0=>1_R2, la_0=>1_R2});
       MQ=diff(transpose(ex)*ex,Finhom);
       DMQ=det MQ;
    S2X0=ideal(DMQ, ISingX0)

--On regarde l'intersection
--$V(S2X0,C28J)\subset\mathbb P(\mathcal{E})(x,y)\times\mathbb P^2(t)$ :

       S2X0C28J=ideal(SX0C28J,S2X0)=SX0C28J+ideal(DMQ)
       dim S2X0C28J -- 3
       degree S2X0C28J -- 66

--Donc $X(t)$ a un $A_2$ point pour chacun des 66 cusps de $C28$.

--Vérifions que pour $t$ en un cusp de $C_{28}$, la forme normale analytique de --$X(t)\subset{\mathbb P(\mathcal{E})}$
--en le $A_2$ point est $x_1*x_2 = u^2-v^3$, où $u, v$ sont des paramètres locaux sur --$\mathbb P^2(y)$.
--Comme on sait que c'est un $A_2$-point, il suffit de vérifier que le $(x_1,x_2)$-mineur de la --matrice hessienne est non nul.

       MXQ=diff(transpose(matrix{{x_1,x_2}})*matrix{{x_1,x_2}},Finhom);
       DXMQ=det MXQ;
       dim(J+ideal(DXMQ)) --    -1
--Vide comme attendu

--On regarde l'intersection
--$V(S2X0)\cap\sing(C28)=V(S2X0,P)\subset\mathbb P(\mathcal{E})(x,y)\times
--\mathbb P^2(t)$ :

       S2X0C28S=ideal(S2X0,P)=ideal(SX0C28S,S2X0)=SX0C28S+ideal(DMQ)
       dim S2X0C28S -- 3
       degree S2X0C28S -- 132=2*66

--Conclusion : pour $t\in\left\{276\mbox{noeuds}\right\}\sing(C_{28})$, $X_t\subset\mathbb --P(\mathcal{E})$ a 2 points doubles ordinaires
--et pour $t\in\left\{66\mbox{cusps}\right\}\sing(C_{28})$ $X_t\subset\mathbb --P(\mathcal{E})$ a une singularité de type $A_2$.

%==================================================================

--Etude des singularités qu'acquièrent les courbes $DDD(t)\subset \mathbb{P}(y_0,y_1,y_2)$ --de la famille $DDD\subset \mathbb{P}(y_0,y_1,y_2)\times \mathbb{P}(la_0,la_1,la_2)$}

--On rappelle que $S2DDD\subset SDDD\subset DDD\subset \mathbb P(y_0,y_1,y_2)\times --\mathbb P(la_0,la_1,la_2)$
--est le lieu où les courbes de la famille $DDD$ acquièrent des singularités qui ne sont pas des --noeuds (partie quadratique(hessienne) dégénérée).
--On regarde ce lieu dans les trois cartes $S2DDD0=S2DDD\cap D(y_0), --S2DDD1=S2DDD\cap D(y_1), S2DDD2=S2DDD\cap D(y_2)$.

--Calcul de $\Discr 2D=pr_la(S2DDD)$

       PD0=diff(transpose matrix{{y_1,y_2}}, DDD0);
       H0=diff(transpose matrix{{y_1,y_2}},transpose PD0);
       S2DDD0=ideal(SDDD0, det H0);

       PD1=diff(transpose matrix{{y_0,y_2}}, DDD1);
       H1=diff(transpose matrix{{y_0,y_2}},transpose PD1);
       S2DDD1=ideal(SDDD1, det H1);

       PD2=diff(transpose matrix{{y_0,y_1}}, DDD2);
       H2=diff(transpose matrix{{y_0,y_1}},transpose PD2);
       S2DDD2=ideal(SDDD2, det H2);

       GS2D0=gens gb S2DDD0;
       GS2D1=gens gb S2DDD1;
       GS2D2=gens gb S2DDD2;
       Discr2D0=selectInSubring(1,GS2D0);
       Discr2D1=selectInSubring(1,GS2D1);
       Discr2D2=selectInSubring(1,GS2D2);

       Discr2D=Discr2D0\cupDiscr2D1\cupDiscr2D2
       Discr2D0==Discr2D1 => TRUE , Discr2D2==Discr2D1 => TRUE

--Donc $\Discr 2D=\Discr 2D0=\Discr 2D1=\Discr 2D2$. Pour étudier $\Discr 2D$, il suffit --de regarder $S2DDD$ dans une des 3 cartes, par exemple $S2DDD0=S2DDD\cap D(y_0)$ : --$\Discr2D=pr_la(S2DDD0)$.

       dim Discr2D0
--=4 => dim pr_la(Discr2D0)=1(les fibres sont de dimension 3) => ce sont des points de --P(la_0,la_1,la_2)
       degree ideal Discr2D0--= 286
       degree singularLocus ideal Discr2D0--=146

--Donc $\Discr 2D= {286~points}\subset \Discr D$ est constitué de 286 points comptés avec --multiplicités, dont 286-146=140 points simples.

--On introduit des notations : $STDDD\subset S2DDD\subset DDD$ est le lieu des points --triples, $STDDD0=STDDD\cap D(y_0)$, $STDDD1=STDDD\cap D(y_1)$, --$STDDD2=STDDD\cap D(y_2)$, $\Discr TD=pr_t(STDDD)$, $\Discr --TD0=pr_t(STDDD0)$, $\Discr TD1=pr_t(STDDD1)$, $\Discr TD2=pr_t(STDDD2)$

--On regarde $STDDD$ dans les trois cartes $D(y_0), D(y_1), D(y_2)$:

--Carte D(y_0)
       e10=matrix{{y_1,y_2}};
       e20=gens trim (ideal e10)^2;
       a0=diff(e20, DDD0);
       STDDD0=ideal(ideal(a0), SDDD0);
       dim STDDD0=3 (contient V(y_0,y_1,y_2))
       GSTD0=gens gb STDDD0;
       DiscrTD0=selectInSubring(1,GSTD0);
       dim ideal DiscrTD0=3 => pr_la(DiscrTD0)=0 => pr_la(DiscrTD0)=(0,0,0) (par homogénéité)
       => pas de point triples

   -- Carte D(y_1)
       e11=matrix{{y_0,y_2}};
       e21=gens trim (ideal e11)^2;
       a1=diff(e21, DDD1);
       STDDD1=ideal(ideal(a1), SDDD1);
       dim STDDD1=3 (contient V(y_0,y_1,y_2))
       GSTD1=gens gb STDDD1;
       DiscrTD1=selectInSubring(1,GSTD1);
       dim ideal DiscrTD1=3 => pas de point triples

        --Carte D(y_2)
       e12=matrix{{y_0,y_1}};
       e22=gens trim (ideal e12)^2;
       a2=diff(e22, DDD2);
       STDDD2=ideal(ideal(a2), SDDD2);
       dim STDDD2=3 (contient V(y_0,y_1,y_2))
       GSTD2=gens gb STDDD2;
       DiscrTD2=selectInSubring(1,GSTD2);
       dim ideal DiscrTD2=3 => pas de points triples

--Donc la famille de courbes
--$DDD\subset \mathbb{P}(y_0,y_1,y_2)\times \mathbb{P}--(la_0,la_1,la_2)$ n'a pas de --points triples.

--On rappelle et introduit les notations : $S2kDDD\subset S2DDD\subset DDD$ est le lieu où --les courbes de DDD ont des singularités de type $A_k$, $k>2$ (tacnode ou pire)
--$S2kDDD0=S2kDDD\cap D(y_0)$, $S2kDDD1=S2kDDD\cap D(y_1)$, --$S2kDDD2=S2kDDD\cap D(y_2)$, $\Discr 2kD=pr_la(S2kDDD)$, --$\Discr2kD0=pr_la(S2kDDD0)$, $\Discr2kD1=pr_la(S2kDDD1)$, --$\Discr2kD2=pr_la(S2kDDD2)$

--On regarde $S2kDDD$ dans les trois cartes $D(y_0)$, $D(y_1)$, $D(y_2)$:

   -- Carte D(y_0)
       e30=gens trim(ideal e10)^3;
       b0=diff(e30, DDD0);
       M0=matrix{{a0_(0,0),2*a0_(0,1),a0_(0,2),0,0},
       {0,a0_(0,0),2*a0_(0,1),a0_(0,2),0},
       {0,0,a0_(0,0),2*a0_(0,1),a0_(0,2)},
       {b0_(0,0),3*b0_(0,1),3*b0_(0,2),b0_(0,3),0},
       {0,b0_(0,0),3*b0_(0,1),3*b0_(0,2),b0_(0,3)}};
       rs0=det M0;
       S2kDDD0=ideal(det M0, det H0, SDDD0);
       dim S2kDDD0=3(contient V(y_0,y_1,y_2))
       GS2kD0=gens gb S2kDDD0;
       Discr2kD0=selectInSubring(1,GS2kD0);
       dim ideal Discr2kD0--=4 et degree ideal Discr2kD0--=2 => Discr2kD0={2 points}

        --Carte D(y_1)
       e31=gens trim(ideal e11)^3;
       b1=diff(e31, DDD1);
       M1=matrix{{a1_(0,0),2*a1_(0,1),a1_(0,2),0,0},
       {0,a1_(0,0),2*a1_(0,1),a1_(0,2),0},
       {0,0,a1_(0,0),2*a1_(0,1),a1_(0,2)},
       {b1_(0,0),3*b1_(0,1),3*b1_(0,2),b1_(0,3),0},
       {0,b1_(0,0),3*b1_(0,1),3*b1_(0,2),b1_(0,3)}};
       rs1=det M1;
       S2kDDD1=ideal(det M1, det H1, SDDD1);
       dim S2kDDD1=3(contient V(y_0,y_1,y_2))
       GS2kD1=gens gb S2kDDD1;
       Discr2kD1=selectInSubring(1,GS2kD1);
       Discr2kD1==Discr2kD0 => TRUE => Discr2kD1=Discr2kD0

        --Carte D(y_2)
       e32=gens trim(ideal e12)^3;
       b2=diff(e32, DDD2);
       M2=matrix{{a2_(0,0),2*a2_(0,1),a2_(0,2),0,0},
       {0,a2_(0,0),2*a2_(0,1),a2_(0,2),0},
       {0,0,a2_(0,0),2*a2_(0,1),a2_(0,2)},
       {b2_(0,0),3*b2_(0,1),3*b2_(0,2),b2_(0,3),0},
       {0,b2_(0,0),3*b2_(0,1),3*b2_(0,2),b2_(0,3)}};
       rs2=det M2;
       S2kDDD2=ideal(det M2, det H2, SDDD2);
       dim S2kDDD2=3(contient V(y_0,y_1,y_2))
       GS2kD2=gens gb S2kDDD2;
       Discr2kD2=selectInSubring(1,GS2kD2);
       Discr2kD2==Discr2kD0 => TRUE => Discr2kD1=Discr2kD2

--Donc $\Discr 2kD=\Discr 2kD0=\Discr 2kD1=\Discr 2kD2={2~points}$ que l'on note --$\Discr 2kD=\left\{t(1), t(2)\right\}$.

--Donc la famille de courbes
--$DDD\subset \mathbb{P}(y_0,y_1,y_2)\times \mathbb{P}(la_0,la_1,la_2)$ a des --singularités de type $A_k$, $k>2$ (tacnode ou pire) uniquement en 2 points $t(1)$ et $t(2)$.

--Remarque: $S2kDDD\subset S2DDD$, donc ${t(1), t(2)}\subset \Discr 2D$.

--On a $\Discr 2D\subset \sing(\Discr D)$:

       ideal(ideal Discr2D0, ideal singularLocus ideal DiscrD0)==ideal Discr2D0 => TRUE

--Regardons maintenant $SDDD$ au-dessus des noeuds de $C_{28}$ et montrons que
--$SDDD\cap pr_t^{-1}(C_{28}\backslash\left\{66\mbox{cusps de }C_{28}\right\})
--\subset\mathbb P^2(y)\times\mathbb P^2(t)$ est lisse :

SDD00=substitute(SDD, {y_0=>1_R,la_0=>1_R});
I=ideal singularLocus SDD00;
dim(I+Jnodes) =-- -1, ce qui veut dire qu'il n'y a pas de points singuliers de SDDD au-dessus --des noeuds de C28

--Montrons maintenant que
--$pr_t :SDDD\subset\mathbb P^2(y)\times\mathbb P^2(t)\to\mathbb P^2(t)$ est --génériquement de degré 1 (i.e. birationnel) au-dessus de $C_{28}$.
--Pour cela comptons le nombre de préimages par $pr_t$ de l'intersection de $C_{28}$ avec --une droite de $\mathbb P^2(t)$ prise au hasard.

linform=sum(3,i->random(p)*la_i);
linform0=sub(linform, la_0=>1);
Iintersect=ideal(C280,linform0);
dim Iintersect -- 7 (0-dimensional times the affine space with 7 free coordinates x_i,y_i,la_0)
degree Iintersect -- 28
Ipreimage=Iintersect+SDD00;
dim Ipreimage -- 5 (0-dimensional times the affine space with 5 free coordinates x_i,y_0,la_0)
degree Ipreimage -- 28
-- The degree of the preimage of the intersection of C28 with generic line
-- coincides with the degree of that intersection, so the degree of the map is 1.

--De même on montre que
--$pr_t :SDDD\subset\mathbb P^2(y)\times\mathbb P^2(t)\to\mathbb P^2(t)$ est --génériquement de degré 1 (i.e. birationnel) au-dessus de $C_{12}$.

%============================================================

--Intersection des courbes de la famille $DDD\subset\mathbb{P}(y_0,y_1,y_2)\times --\mathbb{P}(la_0,la_1,la_2)$ avec la courbe de ramification $C_0=Q_0\subset
--\mathbb{P}--(y_0,y_1,y_2)$ du revêtement double $S\subset
--\mathbb{P}(\mathcal{E})(x,y)\to \mathbb{P}(y_0,y_1,y_2)$ de la surface $K3$ $S$.

--Notations:
--$Q_0=C_0$,
--$IDQ=DDD\cap pr_y^{-1}(C_0)\subset \mathbb{P}(y_0,y_1,y_2)\times
--\mathbb{P}(la_0,la_1,la_2)$ est le lieu
--d'intersection des courbes de $DDD$ avec $C_0$ : $
--IDQ(t)=DDD(t)\cap C_0\subset \mathbb{P}(y_0,y_1,y_2)$,
--\$Q_1=pr_y^{-1}(C_0)$.

--On regarde $IDQ$ dans les trois cartes $D(y_0)$, $D(y_1)$, $D(y_2)$: $IDQ0=IDQ
--\cap D(y_0), IDQ1=IDQ\cap D(y_1), IDQ2=IDQ\cap D(y_2)$.

--Calcul de $C_0\subset\mathbb{P}(y_0,y_1,y_2)$:

        M=matrix{{f_(0,0),f_(0,1)/2,h_0/2},
       {f_(0,1)/2,f_(1,1),h_1/2},
       {h_0/2,    h_1/2,    1 }};
       a_0=g_0;
       a_1=g_1;
       a_2=ell;
       ll={0,1,2};
       Madj=matrix(apply({0,1,2},i-> apply({0,1,2},j-> (-1)^(i+j)*det(M^(delete(i,ll))_(delete(j,ll))))));
       Q_0=sum(0..2,i-> sum(0..2,j-> Madj_(i,j)*a_i*a_j));

       Q_1=sub(Q_0,R1);

       IDQ=ideal(DDD,Q_1);
       IDQ0=sub(IDQ,{y_0=>1_R1});
       IDQ1=sub(IDQ,{y_1=>1_R1});
       IDQ2=sub(IDQ,{y_2=>1_R1});

--$IDQ$ est une surface non réduite (de multiplicité 2) et
--$pr_t: IDQ_{red}\subset\mathbb P(y_0,y_1,y_2)\mathbb P(la_0,la_1,la_2)\to\mathbb --P(la_0,la_1,la_2)$ est un revêtement de degré 12 ramifié en
--une certaine courbe $C_{eic0}\subset\mathbb P^2(t)=\mathbb P(la_0,la_1,la_2)$.
--La courbe $C_{eic0}\subset\mathbb P^2(t)$ est le lieu des $t$
--tel que l'intersection $DDD(t)\cap C_0$ est de multiplicité $>2$.

--On cherche la courbe $C_{eic0}=pr_t(RIDQ)$, où $RIDQ\subset IDQ\subset
--\mathbb{P}(y_0,y_1,y_2)\times \mathbb{P}(la_0,la_1,la_2)$ est le lieu de ramification du --revêtement $(IDQ)_{red}\to \mathbb P(la_0,la_1,la_2)$ de degré $12$.

       RIDQ=radical IDQ;
       JIDQ=diff(transpose matrix{{y_0,y_1,y_2}}, generators RIDQ);
       r=rank JIDQ;
       SIDQ=minors(r,JIDQ);
       SIDQ0=sub(SIDQ, {y_0=>1});
       SIDQ1=sub(SIDQ, {y_1=>1});
       SIDQ2=sub(SIDQ, {y_2=>1});

       GIDQ0=gens gb ideal SIDQ0;
       GIDQ1=gens gb ideal SIDQ1;
       GIDQ2=gens gb ideal SIDQ2;
       DeIDQ0=selectInSubring(1,GIDQ0);
       DeIDQ1=selectInSubring(1,GIDQ1);
       DeIDQ2=selectInSubring(1,GIDQ2);

--Notations :
--$ISDQ=IDQ\cap SDDD\subset DDD\subset\mathbb{P}(y_0,y_1,y_2)\times
--\mathbb{P}(la_0,la_1,la_2)$ est le lieu
--des singularités des courbes de la famille $DDD\subset \mathbb{P}(y_0,y_1,y_2)\times --\mathbb{P}(la_0,la_1,la_2)$ qui se trouve sur la courbe $C_0$ :
--$ISDQ(t)= \sing(DDD(t))\cap C_0\subset \mathbb{P}(y_0,y_1,y_2)$.
--On regarde ce lieu dans les 3 cartes $ISDQ0=ISDQ\cap D(y_0)$, $ISDQ1=ISDQ\cap --D(y_1)$, $ISDQ2=ISDQ\cap D(y_2)$
--$\Discr ISDQ=pr_t(ISDQ)$, $\Discr ISDQ0=pr_t(ISDQ0)$, $\Discr ISDQ1=pr_t(ISDQ1)$, --$\Discr ISDQ2=pr_t(ISDQ2)$.
---$DiscrISDQ\subset DiscrD$ est le lieu des $t$ où la courbe $DDD(t)$ a une singularité --située sur la courbe $C_0=Q_0$.

       ISDQ=ideal(IDQ,SDDD);
       ISDQ0=sub(ISDQ,{y_0=>1_R1});
       ISDQ1=sub(ISDQ,{y_1=>1_R1});
       ISDQ2=sub(ISDQ,{y_2=>1_R1});

--Calcul de $\Discr ISDQ=pr_t(ISDQ)\subset \Discr D$ :

       GISDQ0=gens gb ISDQ0;
       DiscrISDQ0=selectInSubring(1,GISDQ0);
       dim ISDQ0--= 5
       dim ideal DiscrISDQ0--= 5
       degree ideal DiscrISDQ0--= 12 => C12\subset DiscrISDQ
       QC=topComponents ideal DiscrISDQ0;
       degree QC--=12
       C0QC=DiscrISDQ0//gens(QC);
       dim ideal C0QC--= 4
       degree ideal C0QC--= 72
       ideal(C0QC, TC)==ideal C0QC => TRUE
       => DiscrISDQ0=C12

       GISDQ1=gens gb ISDQ1;
       DiscrISDQ1=selectInSubring(1,GISDQ1);

       DiscrISDQ1==DiscrISDQ0 => TRUE => DiscrISDQ1=DiscrISDQ0

       GISDQ2=gens gb ISDQ2;
       DiscrISDQ2=selectInSubring(1,GISDQ2);

       DiscrISDQ2==DiscrISDQ0 => TRUE => DiscrISDQ1=DiscrISDQ2

--Conclusion: $\Discr ISDQ=\Discr ISDQ0=C12$.
--En particulier, pour $t\in \Discr D\backslash C_{12}$, la courbe $DDD(t)$ n'a pas de --singularité sur la courbe $C_0=Q_0$.

--Notation :
--$IS2DQ=IDQ\cap S2DDD\subset DDD\subset \mathbb{P}(y_0,y_1,y_2)\times
--\mathbb{P}(la_0,la_1,la_2)$ est le lieu
--des singularités non nodales des courbes de la famille $DDD\subset
--\mathbb{P}(y_0,y_1,y_2)\times \mathbb{P}(la_0,la_1,la_2)$ qui se trouvent sur la courbe --$C_0 : IS2DQ(t)= \sing 2(DDD(t))\cap C_0\subset \mathbb{P}(y_0,y_1,y_2)$.
--On regarde dans les 3 cartes $IS2DQ0=IS2DQ\cap D(y_0)$, $IS2DQ1=IS2DQ\cap --D(y_1)$, $IS2DQ2=IS2DQ\cap D(y_2)$. On note $\Discr IS2DQ=pr_t(IS2DQ)$, $\Discr --IS2DQ0=pr_t(IS2DQ0)$, $\Discr IS2DQ1=pr_t(IS2DQ1)$, $\Discr --IS2DQ2=pr_t(IS2DQ2)$:

       IS2DQ0=ideal(IDQ0,S2DDD0);
       IS2DQ1=ideal(IDQ1,S2DDD1);
       IS2DQ2=ideal(IDQ2,S2DDD2);

       dim IS2DQ0--= 2
       GIS2DQ0=gens gb IS2DQ0;
       DiscrIS2DQ0=selectInSubring(1,GIS2DQ0);
       dim ideal DiscrIS2DQ0=4
       degree ideal DiscrIS2DQ0--= 72

--Conclusion: $\Discr IS2DQ={72~points}\subset C_{12}$.
--En particulier,
--\item pour $t\in {72~points}\subset C_{12}$, la courbe $DDD(t)$ a des cusps sur la courbe --$C_0=Q_0$
--pour $t\in C_{12}\backslash 72~points$, la courbe $DDD(t)$ n'a que des noeuds sur la --courbe $C_0=Q_0$

%%=============================================================================

--Complément : étude du lieu des singularités non nodales et étude de la famille $DDD\subset --P(y_0,y_1,y_2)\times \mathbb{P}(la_0,la_1,la_2)$ au-dessus de $V(la_0)$}

       [Discr2D=selectInSubring(1,GS2D0);]
       ISDQ0=sub(ISDQ,{y_0=>1_R1})

--Complément sur $SDDD\subset\mathbb{P}(y_0,y_1,y_2)\times
--\mathbb{P}(la_0,la_1,la_2)$ :
--Il y a la sous-variété de dimension 3 parasite $V(la_0,la_1,la_2)\subset S2DDD\subset --SDDD\subset kk(y_0,y_1,y_2,la_0,la_1,la_2)$.

       dim SDDD---= 3
       degree SDDD---= 125

       S2DDD0L1=sub(S2DDD0, la_1=>1_R1);
       degree S2DDD0L1---= 288

--Intersection avec la courbe $C_0$:

       IDQ=ideal(DDD,Q_1);
       ISDQ=ideal(SDDD, Q_1);

       IS2DQ=ideal(S2DDD0, ISDQ0);

--On élimine $V(la_0,la_1,la_2)\cap pr_y^-1(C_0)\subset IS2DQLa0$ :

       IS2DQ0=sub(IS2DQLa0, la_1=>1_R1);
       dim IS2DQ0---= 2
       degree IS2DQ0---= 72

--Donc, il y a 72 cusps parmi les 288 de la famille $DDD\subset
--\mathbb{P}(y_0,y_1,y_2)\times \mathbb{P}(la_0,la_1,la_2)$ situés sur $C_0$.

--On a $V(la_0)\cap C_{12}\cap C_{28}=\emptyset\subset \Discr D$.

--au-dessus de $V(la_0)\subset \Discr D$ :

       SDDDLa0=ideal(SDDD0,la_0);
       dim SDDDLa0---= 3
       degree SDDDLa0---= 6

       S2DDD0La0=ideal(S2DDD0,la_0);
      -- On elimine V(la_0,la_1,la_2)\subset S2DDD0
       S2DDD0La00=sub(S2DDD0La0, la_1=>1_R1)
       dim S2DDD0La0---=2
       degree S2DDD0La0---=18

       Discr2DLa0=ideal(ideal Discr2D0, la_0);
       degree Discr2D0La0---= 16

--Intersection avec la courbe $C_0$:

       IS2DQLa0=ideal(S2DDD0, ISDQ0, la_0);

--On élimine $V(la_0,la_1,la_2)\cap pr_y^-1(C_0)\subset IS2DQLa0$ :

       IS2DQLa00=sub(IS2DQLa0, la_1=>1_R1);
       dim IS2DQLa00---= 2
       degree IS2DQLa00---= 6

--au-dessus de $V(la_0)\cap C12={6*2~points}\subset \Discr D$

       SDDDLa0C12=ideal(SDDD, la_0, TC);

--On élimine $V(la_0,la_1,la_2)\subset SDDDLa0C12$ :

       SDDDLa0C120=sub(SDDDLa0C12, la_1=>1_R1);
       dim SDDDLa0C120----= 2
       degree SDDDLa0C120----= 36

       S2DDD0La0C12=ideal(S2DDD0 ,la_0, TC);
       S2DDD0La0C120=sub(S2DDD0La0C12, la_1=>1_R1);

       dim S2DDD0La0C120--- = 2
       degree S2DDD0La0C120---- = 12

       Discr2DLa0C12=ideal(ideal Discr2D0, la_0, TC);
       degree Discr2D0La0C12----= 12

       OI= cokernel gens SDDDLa0C120;
       ONI=(S2DDD0)^2*OI;
       SNDDDLa0C120=fittingIdeal(0,ONI);
       degree SNDDDLa0C120

--Intersection avec la courbe $C_0$:

       ISDQLa0C12=ideal(SDDD, ISDQ, la_0, TC);

--On élimine $V(la_0,la_1,la_2)\cap pr_y^-1(C_0)\subset ISDQLa0C12$ :

       ISDQLa0C120=sub(ISDQLa0C12, la_1=>1_R1);
       dim ISDQLa0C120---= 2
       degree ISDQLa0C120---= 12

       IS2DQLa0C12=ideal(S2DDD0, ISDQ0, la_0, TC);

--On élimine $V(la_0,la_1,la_2)\cap pr_y^-1(C_0)\subset IS2DQLa0C12$ :

       IS2DQLa0C120=sub(IS2DQLa0C12, la_1=>1_R1);
       dim IS2DQLa0C120---= 2
       degree IS2DQLa0C120---= 6

       IS2DQLa00==IS2DQLa0C120 => TRUE

%dim ((sub(SDDD,{y_0=>1,la_1=>1})+sub(C12intL0,{la_1=>1})+sub(sextic,{y_0=>1}))) -- 5
%degree ((sub(SDDD,{y_0=>1,la_1=>1})+sub(C12intL0,{la_1=>1})+sub(sextic,{y_0=>1}))) -- 12
%S2DDD0=substitute(S2DDD0,R2);
%dim ((sub(S2DDD0,{la_1=>1})+sub(C12intL0,{la_1=>1})+sub(sextic,{y_0=>1}))) -- 5
%degree ((sub(S2DDD0,{la_1=>1})+sub(C12intL0,{la_1=>1})+sub(sextic,{y_0=>1}))) -- 6
%degree (sub(S2DDD0,{la_1=>1})+sub(C12intL0,{la_1=>1})) -- 12
%radical C12intL0 -- de degré 6

--au-dessus de $V(la_0)\cap C_{28}={28~points}\subset \Discr D$ :

       S2DDD0La0C28=ideal(S2DDD0,la_0, C28);
       S2DDD0La0C280=sub(IS20La0C28, la_1=>1_R1);
       degree S2DDD0La0C280---= 6

       Discr2DLa0C28=ideal(ideal Discr2D0, la_0, ideal C28);
       degree Discr2D0La0C28---= 4

--Intersection avec la courbe $C_0$ :

       ISDQLa0C28=ideal(SDDDL1, Q_1, la_0, C28);
       dim ISDQLa0C28--= 1
       degree ISDQLa0C28

--Tacnodes :

S2kDDD0la1=sub(S2kDDD0,{la_1=>1});
dim S2kDDD0la1 -- 5
degree S2kDDD0la1 -- 4
dim (S2kDDD0la1+ideal(la_0)) -- 5
degree (S2kDDD0la1+ideal(la_0)) -- 4
RS2kDDD0la1 = radical (S2kDDD0la1+ideal(la_0))
degree RS2kDDD0la1 -- 2
dim (RS2kDDD0la1+ideal (sub(C12,{la_1=>1})))
dim(RS2kDDD0la1+ideal(C28la1)) -- 5
degree(RS2kDDD0la1+ideal(C28la1)) -- 2